Lipka discussion forum

Kulhánek exelentným spôsobom odvodil vzťah pre dostredivé zrýchlenie. Zvyčajne sa odvodzuje málo prehľadnými hrátkami s geometriou. Toto odvodenie je však ďaleko transparentnejšie:

<h1>Na úvod:</h1>
Teleso, ktoré sa rovnomerne pohybuje po kružnici, nemení svoju rýchlosť. Napriek tomu vykazuje zrýchlenie. Mení totiž neustále smer svojho pohybu. Toto zrýchlenie sa volá dostredivé a vzťah pre jeho výpočet je trochu iný, ako pre bežné zrýchlenie.

<h1>Použité znaky:</h1>
R - dĺžka ramena od stredu kružnice po okraj
w - uhlová rýchlosť
a - uhol
x - vzdialenosť od stredu na osi X
y - vzdialenosť od stredu na osi Y
v - rýchlosť (vx - na Xovej osi, vy - na Yovej osi)
a - zrýchlenie (ax - na Xovej osi, ay - na Yovej osi)
t - čas
d - nekonečne krátky úsek času, dĺžky alebo uhla (tzv. diferenciál).

<h1>Odvodenie:</h1>
Ak sa teleso pohybuje po kružnici stále rovnakou rýchlosťou, mení sa aj uhol ramena spájajúceho stred kružnice a telesa rovnakou rýchlosťou. Čiže rovnako ako pre bežnú rýchlosť, platí i pre uhlovú vzťah:

w = a/t

To znamená, že uhol (podobne ako dráha) narastá s časom podľa vzťahu:

a = w.t

Dĺžku projekciu takého pohybu na súradnicových osiach X, Y v ľubovoľnom čase potom vypočítame podľa dvojice vzťahov:

x = R . cos a
y = R . sin a

link

Uhol "a" sa však mení s časom rýchlosťou "w.t" (ako som už hore napísal), preto za "a" dosadíme:

x = R . cos(w.t)
y = R . sin(w.t)

....čo je priemet polohy krúžiaceho telesa na osi X a Y.
No dobre, ale teraz ako je to s rýchlosťou? Rýchlosť vypočítame podľa známeho vzťahu dráha/čas. Priemet rýchlosti pohybu telesa (tieň) na osi X a Y sa však neustále mení, preto rýchlosť musíme počítať zvlášť v každom okamžiku. K tomu si vezmeme na pomoc nekonečne krátke časové okamžiky a zaujíma nás, o koľko sa zmení v každom z nich dráha. Z toho zistíme rýchlosť. Nekonečne krátke úseky (diferenciály) označujeme písmenom "d" a počítanie s nimi voláme derivovanie (derivácie). -Takže napíšeme:

vx = dx/dt
vy = dy/dt

Miesto dráhy X a Y už dosadíme to, čo sme získali predtým:

vx = d(R.cos(w.t)) / dt
vy = d(R.sin(w.t)) / dt

Po zderivovaní získame vzťahy (...viď pravidlá a vzorce pre derivovanie link ):

vx = -R.w.sin(w.t)
vy = R.w.cos(w.t)

...A nakoniec ešte potrebujeme to zrýchlenie. Zrýchlenie je zmena rýchlosti s časom (rýchlosť/čas), ale opäť musíme rátať nekonečne krátke úseky, pretože priemet (tieň) rýchlosti pohybu telesa na osiach X a Y sa neustále mení, takže napíšeme:

ax = dvx/dt
ay = dvy/dt

Miesto rýchlostí na osiach X a Y dosadíme čo sme získali predtým:

ax = d(-R.w.sin(w.t)) / dt
ay = d(R.w.cos(w.t)) / dt

Po zderivovaní získame vzťahy:

ax = -R.(w^2).cos(w.t)
ay = -R.(w^2).sin(w.t)

Takže takto sa dostredivé zrýchlenie krúžiaceho telesa po kružnici javí na osiaxh X a Y. Nás ale zaujíma to teleso, nie jeho tiene, ktoré vrhá na osi X,Y. Krúžiace teleso je uchytené na konci ramena R, ktorého druhý koniec je pripojený v strede kružnice. Toto rameno je v skutočnosti prepona pravouhlého trojuholníka, a tiene toho telesa na osiach X,Y, dve odvesny pravouhlého trojuholníka. Preto použijeme Pythagorovu vetu:

R^2 = x^2 + y^2

Za x a y dosadíme tie zrýchlenia, ako sa javia na osiach X,Y, čím získame celkové (dostredivé) zrýchlenie telesa. Čiže:

a = Odmocnina(ax^2 + ay^2)

Teraz už len miesto ax a ay dosadíme, čo sme dostali predtým:

a = Odmocnina((-R.w^2.cos(w.t))^2 + (-R.w^2.sin(w.t))^2)

a = Odmocnina(R^2.w^4.(cos(w.t))^2 + R^2.w^4.(sin(w.t))^2)

a = Odmocnina(R^2.w^4.((cos(w.t))^2 + (sin(w.t))^2))

Z Pythagorovej vety však vieme, že:

(cos(w.t))^2 + (sin(w.t))^2 = 1

Preto celý ten člen vo vzťahu nahradíme jednotkou a dostaneme tak:

a = Odmocnina(R^2.w^4 . 1)
a = R.w^2

To je výsledný vzťah pre dostredivé zrýchlenie. V praxi nás však až tak nezaujíma uhlová rýchlosť "w", ako skôr samotná rýchlosť telesa "v". Skutočcná rýchlosť telesa sa dá vypočítať veľmi ľahko: Dĺžka krútiaceho sa ramena "R" krát uhlová rýchlosť "w" (v radiánoch za sekundu), čiže: v=R.w. Z toho uhlová rýchlosť w=v/R. Tento vzťah dosadíme do predošlého, čím dostaneme:

a = R.(v/R)^2

a = v^2 / R

Takže toto je výsledný vzťah pre výpočet dostredivého zrýchlenia, keď poznáme len rýchlosť telesa, pohybujúceho sa po kružnici.

To vysvetľuje hodnotu jazdca v pomere k hodnote strelca. Jazdec sa pohybuje po kružnici. Jeho dráha je uhlová.

Zaujímavé je, že jazdec v pohybe vytvára zlatý rez. Pohybuje sa o dve polia jedným smerom a o jedno pole smerom naňho kolmým. Ak narysujeme trojuholník so stranami 2 a 1, tretia strana bude 5^1/2.

Zlatý rez je zaujímavá vec, ktorá sa vyskytuje často v prírode.

Hodnota figúr je odvodená od ich pohyblivosti. Jazdec má zvláštnu pohyblivosť, akoby sa nepochyboval priamočiaro, ale kvantovými skokmi preskakuje z orbity na orbitu.