Žumpa

Pri diferenciálnych rovniciach ktoré idú riešiť si často pomáhame číslom e, ktorého hodnota je 2,718..... (atď, ide to do nekonečna). Funkcia e^x je totiž imúnna voči derivovaniu. Po ľubovoľnom počte zderivovaní e^x získame znovu e^x. A ak je pred x-om nejaká konštanta k, získame po prvom zderivovaní funkcie e^(k.x) funkciu k.e^(k.x). Keď to celé zderivujeme znovu, získame k.k.e^(k.x). Keď znovu, tak k.k.k.e^(k.x), atď.... Čiže po n počtoch zderivovaní, získame k^n . e^(k.x). Táto pomôcka sa hodí, keď hľadáme nejaké riešenie difernciálnych rovníc vyšších rádov, čiže takých, kde vystupujú aj derivácie druhé, tretie, štvrté, atď. Riešením diferenciálnych rovníc je nejaká funkcia. Tak ako v prípade tej teploty v príspevku 1. Funkcia, z ktorej sa dá už niečo vypočítať.

To s čím sa v prírode stretávame je pohyb a veľkosť rôznych veličín. Pohyb súvisí so smerom, polohou, rýchlosťou, zrýchlením. Veľkosť veličín s hodnotou, zmenou a rýchlosťou zmeny tej veličiny. -Pohyb a zmena veličín v nás evokuje predstavu "plynutia času".

Často sa stáva, že rýchlosť zmeny je závislá na veľkosti hodnoty. Napríklad máme nádobu s horúcou vodou a pýtame sa, ako dlho bude trvať než vychladne. Lenže rýchlosť akou chladne je závislá na teplote. Čím väčší je rozdiel teploty voči okoliu, tým rýchlejšie chladne. Dá sa teda napísať, že drobná zmena teploty dT za drobný časový okamih dt, čo je vlastne rýchlosť zmeny teploty, je rovná rozdielu tej teploty T voči teplote okolia To. Teda:

<h1>- dT/dt = k(To - T)</h1>

Koeficient úmernosti k je nejaké číslo v ktorom je zahrnuté množstvo a tepelná kapacita tekutiny, v tomto prípade vody. Mínus pred ľavou stranou rovnice znamená, že teplota klesá, pretože voda chladne. Rýchlosť zmeny teploty je teda záporná. Teraz nás teda zaujíma celkový čas, za aký sa teplota vyrovná s okolím. Preto je treba túto diferenciálnu rovnicu zintegrovať. Najskôr si teda poprehadzujeme členy ktoré k sebe patria:

dT/(To - T) = - k.t

Teraz obe strany zintegrujeme. Integrál(1/(To-T).dT) je ln(To - T) a integrál pravej strany je integrál konštanty, čiže pravá strana bude -k.t . Tým sme získali vzťah, že čas

<h1>t = ln(To - T) / k</h1>

....Väčšinu dejov v prírode je možné popísať takýmito diferenciálnymi rovnicami. Pokiaľ má hodnota nejakej veličiny vplyv na rýchlosť zmeny tej alebo inej veličiny, také rovnica sa ešte riešia pomerne jednoducho. Jedná sa len o prvú deriváciu, čiže rýchlosť. Pokiaľ sa ale ešte mení aj rýchlosť zmeny tej rýchlosti, čo už je vlastne druhá derivácia, to už tak jednoduché nie je. Dá sa povedať, že väčšina diferenciálnych rovníc popisujúcich komplikované prírodné deje ani riešenie nemá. Preto sa diferenciály nahradia konečnými drobnými prírastkami a výsledok sa dosádza nas5 do tej rovnice. Nechá sa to riešiť počítaču. ....A to už sme pri počítačových simuláciách prírodných či iných dejov. Napr. pri stavbe mosta nejakej konštrukcie, keď sa skúma jeho stabilita v rôznych okolitých podmienkach.

Zatiaľ toľko.....